Dominio de definición de f (x) es el conjunto de valores de la variable independiente x para los cuales la función f(x) = y toma un valor real.
Rango de una función, es el conjunto de todos los valores que toma la función.

 

FUNCIONES POLINOMICAS

Son funciones polinomicas las rectas, parabolas y polinomios de grado superior.

El dominio de una función polinomica es todo R

Df = R = (-∞, +∞)

No tenemos que efectuar ningún cálculo. La función va a existir desde x = - ∞ hasta x = + ∞

Ejemplos:

1.- f (x) = x³ - 6 x² + 8x >> Df = R y el Rf = R

2.- f (x) = x⁴ - 4 x² >> Df = R

Pero en este caso el rango no es todo R. Si analizamos la función, veremos que tiene dos puntos mínimos en
x = ± √2 >> y = -4

Rf = [-4, +∞)

3.- f(x) = (x+6)² >>>> Dom f = R
Observamos que la función es un cuadrado, luego los valores que obtienes de aplicar la función son todos positivos, con lo que el rango de f, son todos los valores mayores o iguales que 0; para x = -6 >> f(x) = 0, luego:
R f = [0, +∞)

 

FUNCIONES RACIONALES

           Df = R - {Los valores de x que anulen el denominador si los hay}

Para hallar el dominio igualamos el denominador a 0 y resolvemos la ecuación. Si esta ecuación se anula para algún valor, el dominio seran todos los valores de R menos ese valor.

Ejemplos:

1.-

           Df = R - {0};        Rf = (-∞. 2] U [2, +∞)

2.-

El denominador de f se anula en x = -3, luego la función no está definida para x = -3
Con lo que
Dom f = R – {-3} = (-∞, 3) U (3, +∞) .
Para el rango observamos que tenemos un cociente donde en el numerador no está la variable independiente, es decir, la x. Luego f no va a anularse nunca, es decir no existe x tal que f(x) = 0 luego
R f = R – {0}

3.-

El denominador se anula en x = -1

Dom f = R –{-1}

El numerador se anula en x = 1, en este caso f (1) = 0, luego el 0 forma parte del rango de la función. Hay que tener un poco de cuidado para analizar el resto del rango. Observar que al no estar definida la función en
x = -1, significa que la función cuando se acerca al -1 por la izquierda se va a -∞ y si se acerca por la derecha se va a +∞, luego hay que estudiar el rango a “trozos”, al graficar la función obtenemos dos curvas separadas en el -1. Al derivar la función concluimos que la función tiene un máximo en x = -3 y un mínimo en
x= 1, luego f(-3) = -8 y f(1) = 0. Esto significa que la variable “y” por un lado (el negativo) alcanza su valor máximo en y = -8 y en la parte positiva toma valores a partir del 0, luego el rango es

R f = (-∞, -8] U [0,+8)

4.-Dominio: x² - 1 = 0 >> x = ± 1 >> Df = R - {1, -1};        Rf = R

 

 

FUNCIONES IRRACIONALES

El dominio va a depender del indice de la raíz.

Indice impar >> Df = R

Indice par, en este caso hay que tener en cuenta que la raíz sólo la tenemos definida para valores mayores o iguales que 0, estamos trabajando con números reales.

Ejemplos:

1.

Dominio de f(x): x² - 1 0 >> (x + 1) (x - 1) 0 >> Df = (- ∞, -1] U [1, +∞)

Para sacar el dominio hemos tenido que resolver la inecuación. Veamos el rango.

En este caso como x² - 1 0 >> f(x) 0 >> Rf = R⁺ = [0, +∞)

2.-

Dominio (x - 1) 0 >> x 1 >> Df = [1,+8)

Rf = [0, +∞)