INTEGRALES RACIONALES
Cuando integramos funciones racionales generalmente vamos a obtener como resultado, una potencia, un neperiano, un arco tangente o neperiano y arco tangente a la vez, cuando no son inmediatas tenemos que utilizar el método de descomposición en fracciones simples que paso a explicar.
Lo primero que analizamos al integrar fracciones racionales del tipo P(x)/Q(x), son los grados del numerador y denominador.
Se efectúa la división para conseguir dos integrales, donde una de ellas vuelve a ser una fracción racional, y en la cual el grado del numerador es menor que el grado del denominador:
Cuando tenemos que integrar P(x)/Q(x) con el grado del numerador menor que el de denominador lo que tenemos que hacer es descomponer el denominador en producto de factores lineales, y cuadráticos irreducibles. Y de acuerdo con los factores obtenidos escribiremos la suma de fracciones simples.
Si en la descomposición del denominador obtenemos:
- Factores lineales simples:
p(x)/q(x) = (A/(x - a)) + (B/(x - b)) + (C/(x - c)) + ...
q(x) = x² + 7x + 6 = (x + 1) (x + 6) => p(x)/q(x) = (A/(x +1)) + (B/(x + 6))
- Factores lineales dobles, triples, ..
p(x)/q(x) = (A/(x - a)) + (B/(x - b)) + ..... + (P/(x - p)³) + (Q/(x - p)²) + (R/(x - p))
q(x) ) = ( x+1)³ => p(x)/q(x) = (A/(x+1)³) + (B/(x+1)² )+ (C/(x+1) )
- Factores cuadráticos irreducibles simples.
p(x)/q(x) = (Mx + N) / (ax² + bx + c)
q(x) = x³ + x = x (x² + 1 ) => p(x) / q(x) = (A / x) + ((Bx + C) / (x² + 1 ))
- Factores cuadráticos irreducibles dobles, triples, ....
Existen 2 Métodos para resolver Fracciones Parciales
- Sustitución
- Igualación de Coeficientes
El Método de Sustitución, consiste en darle valores a [x], de preferencia valores en los que [x] se haga cero
El de igualación como su mismo nombre indica, se trata de iguales coeficientes.
Ejemplos:
1.- ∫ (x⁴/(x⁴ + 5 x² + 4)) dx
Efectuamos la división.
= ∫( 1 - ((5 x² + 4)/ (x⁴ + 5 x² + 4))) dx =
= ∫ dx – ∫ ( (5 x²+ 4) / (x⁴ + 5 x² + 4)) dx = x - I1
I1 = ∫ ((5 x² + 4) / (x⁴ + 5 x² + 4)) dx
x⁴ + 5 x² + 4 = (x² + (5/2))² - (9/4) = (x² + (5/2))² - (3/2)² =(diferencia de cuadrados)
= (x² + (5/2) - (3/2)) (x² + (5/2))² +(3/2) =
= (x² + 1) (x² + 4)
Tenemos el denominador convertido en dos factores cuadraticos, la suma en fracciones simples. será de la forma:
((Ax + B)/ (x² + 1)) + ((Cx+D)/(x² + 4))
((Ax+B)/ (x² + 1)) + ((Cx+D)/ (x² + 4)) =
= ((A+C) x³ + (B+D)x² (4A+C)x + (4B+D))/ (x² + 1) (x² + 4)
Buscamos coeficientes A, B, C y D tales que la suma anterior sea igual a nuestra fracción original::
(5 x² + 4) / (x⁴ + 5 x² + 4) = (5 x² + 4) / (x² + 1) (x² + 4)
Como en ambas fracciones el senominador es el mismo, claramente se trata de encontrar, A, B, C y D tales que:
5 x² + 4 = (Ax + B) (x² + 4) + (Cx + D) (x² + 1)
= (A + C) x³ + (B + D) x² + (4A+ C) x + (D + 4B)
Método de igualación:
A+C = 0
B+D = 5
4A+C = 0
4B+D = 4
Resolviendo el sistema; A = C = 0; B = -1/3; D = 16/3
Con lo que hemos transformado I1 en la suma de las siguientes integrales.
I1 = – (1/3) ∫dx/ (x² + 1) + (16/3) ∫dx/(x² + 4) =
= – (1/3) ∫dx/ (1 + x²) + (16/3) ∫ dx/4 (1 +(x/2)² )
= -(1/3) arc tan x + (8/3) arc tan (x/2)
Luego juntando I1 con la primera:
∫ (x⁴ / (x⁴+ 5 x² + 4)) dx = x + (1/3) arc tan x – (8/3) arc tan (x/2)+ C
2.- ∫dx / x (x + 1)²
El denominador está formado por dos factores, uno lineal simple, y otro lineal doble, luego la suma en fracciones simples será:
(A/x) + (B/(x+1)) + (C/(x+1)²)
Si desarrollamos
(A/x) + (B/(x+1)) + (C/(x+1)²)
Obtenemos
A (x+1)² + B x (x+1) + C x
---------------------------------
……x (x+1)²
De nuevo comparamos los numeradores:
1 = A (x+1)² + B x (x+1) + C x
Método de sustitución:
Damos valores a x, de forma que nos anulen los parentesis:
x = -1; 1 = -C => C = -1
x = 0; 1 = A
x = 1; 4A + 2B + C = 1 => B = -1
A = 1 => B = -1 => C = -1
Ahora integramos.
∫dx / x (x + 1)² =
= ∫ (A/x) + (B/(x+1)) + (C/(x+1)²) dx =
= ∫ (1/x) – (1/(x+1)) – (1(x+1)²) dx =
= ∫ dx / x - ∫ dx/x+1 - ∫ dx /(x + 1)² =
= ln x – ln (x+1) + (1/(x+1)) + c
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